Vi påminner oss om att definitionsmängden för en funktion omfattar alla värden som kan tilldelas den oberoende variabeln utan att funktionen blir odefinierad. Här kommer vi att undersöka definitionsmängden för reella funktioner, dvs. funktioner vars definitionsmängd och avbildning är reella tal eller delmängder av dessa.
Definitionsmängden för polynomfunktioner
1 
2 
3 
Beräkna definitionsmängden för polynomfunktionerna:
Definitionsmängden för en heltalig polynomfunktion är 
. Det vill säga: alla reella tal.
1 
2 
3
Observera att det rör sig om en polynomfunktion med rationella koefficienter:
Alltså
Beräkna definitionsmängden för följande rationella funktioner
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Beräkna definitionsmängden för de rationella funktionerna: Definitionsmängden för en rationell funktion är 
minus de värden för vilka nämnaren blir noll. För att bestämma definitionsmängden måste vi sätta nämnaren lika med noll och lösa ekvationen. Lösningarna till denna ekvation är de punkter som inte tillhör definitionsmängden, eftersom de gör nämnaren noll.
1
2
3
eftersom denna ekvation inte har några reella nollställen.
4
eftersom nollstället är ett dubbelt nollställe.
5
Vi har 
, alltså
Och således 
eller 
. Definitionsmängden är alltså 
6
Vi konstaterar att polynomet är ett binom upphöjt till 3 
eftersom 
är ett trippelt nollställe.
7
Vi faktoriserar 
Således 
tarrow\quad (x+3)(x-3)(x+2)(x-2)=0\quad\Rightarrow\quad x=-3,3,-2,2.[/latex]
Somit
Beräkna definitionsmängden för rotfunktionerna
1 
2 
3 
Beräkna definitionsmängden för rotfunktionerna: Definitionsmängden för en irrationell funktion med udda rotexponent är
1
2
Definitionsmängden för denna funktion är alla reella tal minus de värden för vilka nämnaren i den rationella funktionen under kubikroten blir noll. Alltså
3
Definitionsmängden för denna funktion är alla reella tal minus de värden för vilka nämnaren i den rationella funktionen under kubikroten blir noll. Alltså
Beräkna definitionsmängden för exponentialfunktionerna
1 
2 
Beräkna definitionsmängden för exponentialfunktionerna: Definitionsmängden för en exponentialfunktion är
1
2
Eftersom exponenten är rationell tillhör inte 
definitionsmängden, eftersom det gör nämnaren noll. Således 
.
Berechne die Definitionsmenge der Logarithmusfunktionen
1 
2 
Beräkna definitionsmängden för logaritmfunktionerna: För att funktionen ska vara definierad måste argumentet vara positivt. Det vill säga, definitionsmängden är 
1
Vi löser 
2
Eftersom nämnaren alltid är positiv behandlar vi bara täljaren. Alltså
.
Beräkna definitionsmängden för vinkelfunktionerna
1 
2 
Beräkna definitionsmängden för vinkelfunktionerna: Definitionsmängden för en irrationell funktion med jämn rotexponent består av mängden värden för vilka radikanden är större än eller lika med noll. Definitionsmängden för vinkelfunktionerna sinus och cosinus är alla reella tal. Dessutom är maximalvärdet 1, varav följer att dessa funktioner alltid har värden mindre än eller lika med 1 för varje reellt tal.
1
Vi löser 
2
Vi löser 
Wurzelfunktionen und ihre Definitionsmenge
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
Beräkna definitionsmängden för rotfunktionerna: Definitionsmängden för en irrationell funktion med jämn rotexponent består av mängden värden för vilka radikanden är större än eller lika med noll.
1
Vi löser olikheten
2
Vi löser 
3
Vi löser 
Vi sätter lika med noll för att bestämma nollställena: 
Slutligen tar vi de intervall inom vilka olikheten är positiv. Deras union är sedan vår definitionsmängd. Därför är 
4
Vi löser 
Vi sätter lika med noll för att erhålla nollställena: 
Slutligen tar vi de intervall inom vilka olikheten är negativ. Deras union är sedan vår definitionsmängd. Därför är 
5
Vi löser 
eftersom 
är större än eller lika med noll.
6
Vi löser 
Om vi sätter lika med noll har motsvarande ekvation inga reella lösningar. Dessutom konstaterar vi att den är positiv eller noll för ett godtyckligt värde. Därför är
7
Vi löser 
Denna olikhet är uppfylld endast för värdet 
, eftersom resultatet för alla andra värden av 
alltid är negativt. Således är det enda värde som uppfyller vår olikhet. Därför är 
8
Vi löser andragradsolikheten 
Slutligen tar vi de intervall inom vilka olikheten är positiv och inkluderar extremvärdena för vilka den blir noll. Unionen av dessa intervall är sedan vår definitionsmängd. Därför är 
9 
Vi löser 
Slutligen tar vi de intervall inom vilka olikheten är positiv och inkluderar extremvärdena för vilka den blir noll. Unionen av dessa intervall är sedan vår definitionsmängd. Därför är 
10
Eftersom roten står i nämnaren måste radikanden vara större än noll. Den får dock inte vara lika med noll, eftersom nämnaren då blir noll. Vi löser 
11
I detta fall måste nämnaren vara skild från noll och roten i täljaren måste vara större än eller lika med noll. Vi löser 
Lösningen är snittet av de båda mängderna. Därför är 
12
Täljaren måste vara större än eller lika med noll och nämnaren måste vara skild från noll. Vi löser 
Lösningen är snittet av de båda mängderna, alltså 
13
Nämnaren måste vara större än noll. Vi löser 
14
Radikanden måste vara större än noll och nämnaren måste vara skild från noll. Vi löser 
och 
Lösningen är snittet av de båda mängderna, alltså 
Beräkna definitionsmängden för funktionen
Beräkna definitionsmängden för funktionen:
Vi löser 
Lösningen är snittet av de båda mängderna, alltså
Beräkna definitionsmängden för den styckevis definierade funktionen
Beräkna definitionsmängden för den styckevis definierade funktionen:
I den första delen måste nämnaren vara skild från noll. I den andra delen är 3 en konstant som alltid är positiv; vi undersöker bara om nämnaren är större än noll. Således
Slutligen är lösningen 
Sammanfatta med AI:
Gillade du den här artikeln? Betysätt den!
Loading...
