Kapitel
Definition
I en exponentialfunktion tillordnas varje reellt värde av 
en potens 
. Därvid är 
och 
. Funktionen har formen:
Talet 
kallas också bas.
Grafiska framställningar av exponentialfunktioner
Hur beter sig exponentialfunktionen med avseende på sin bas?
Vi skapar en värdetabell för funktionen 
| x | f(x) |
|---|---|
| -3 | 1/8 |
| -2 | 1/4 |
| -1 | 1/2 |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
Vi ritar in grafen i koordinatsystemet
För jämförelse skapar vi en värdetabell för funktionen 
| x | g(x) |
|---|---|
| -3 | 8 |
| -2 | 4 |
| -1 | 2 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1/2 |
| 2 | 1/4 |
| 3 | 1/8 |
Vi ritar in grafen i koordinatsystemet
Man kan se att den första funktionen stiger konstant, medan den andra avtar konstant. Båda graferna är symmetriska med avseende på 
-axeln
Naturliga exponentialfunktionen
Den naturliga exponentialfunktionen (även kallad e-funktionen) har formen 
. Därvid är 
fastställt genom
festgelegt.
Denna skrivning introducerades omkring 1730 av Leonhard Euler, som forskade om talets egenskaper. Talet är ett irrationellt tal. Dess första 10 decimaler är 
.
Egenskaper hos e-funktionen
1 Definitionsmängd: 
(reella positiva tal).
2 Värdemängd: 
.
3 Funktionen är kontinuerlig.
4 Punkterna 
och 
är del av grafen.
5 Funktionen är injektiv 
(ingen bild har mer än en urbild).
6 Funktionen är växande om 
.
7 Funktionen är avtagande om 
.
8 Funktionskurvorna och 
är symmetriska med avseende på -axeln.
9 Exponentialfunktionen med stiger snabbare än potensfunktionen 
för varje värde av 
.
10 Exponentialfunktionen har inversfunktionen 
. Inversfunktionen till e-funktionen är 
.
Tillämpningsexempel av exponentialfunktionen
Exponentialfunktioner tillämpas inom en mängd arbetsområden, till exempel för beräkning av befolkningstillväxt och räntesatser.
Exponentiell tillväxt och avtagande
För att beskriva tillväxten av en befolkning används följande formel:
Funktionen 
stiger exponentiellt och representerar befolkningens storlek vid tidpunkten 
; 
är konstanten som anger tillväxten respektive avtagandet; om 
, kallas den tillväxtkonstant. Om 
, benämner man den avtagandekonstant. 
representerar den ursprungliga befolkningen vid tidpunkten för registreringens början: 
.
Den föregående formeln framställs med bas e-funktionen. I vissa fall kan den också uttryckas som en funktion med bas : för detta tillämpas helt enkelt exponenternas egenskaper på 
och a uttrycks som 
. Man får:
Exempel: En forskargrupp undersöker en bakteriekultur. Vid undersökningens starttidpunkt föreligger 
bakterier; en halvtimme senare redan 
. Bestäm:
1 Antalet bakterier efter 2 timmar.
2 Antalet bakterier efter 3 timmar.
3 Den genomsnittliga ökningstakten av bakterieantalet under den andra timmen.
4 Den tid då bakterieantalet har fördubblats.
5 Den tid då bakterieantalet kommer att ligga på 
.
För att kunna lösa uppgifterna måste vi uttrycka tillväxtformeln med 
i minuter.
Vi känner redan till startvärdet 
, men tillväxtkonstanten är fortfarande okänd. För att finna värdet av 
använder vi informationen från uppgiften 
i tillväxtformeln:
Vi dividerar båda sidorna med 
och tillämpar inversfunktionen till e-funktionen:
Funktionen som beskriver tillväxten av bakterieantalet är alltså:
1 Antalet bakterier efter 2 timmar är:
2 Antalet bakterier efter 3 timmar är:
3 Den genomsnittliga ökningstakten av bakterieantalet under den andra timmen är:
Under den andra timmen av undersökningen, det vill säga mellan 
och 
, förändras bakterieantalet med 
, därför är den genomsnittliga ökningen under denna tid
Bakterieantalet växer under den andra timmen av mätningen i genomsnitt med 
bakterier per minut.
4 Den tid då bakterieantalet har fördubblats är:
Tillämpa följande ekvation:
Vi dividerar båda sidorna med och tillämpar inversfunktionen till e-funktionen:
Bakterieantalet fördubblas alltså inom 
minuter.
5 Den tid då bakterieantalet kommer att ligga på .
Tillämpa följande ekvation:
Vi dividerar båda sidorna med och tillämpar inversfunktionen till e-funktionen:
Bakterieantalet ligger efter 
minuter på 
.
Ränta under året
Ett ursprungligt penningbelopp förräntas till en räntesats 
, som anges i decimaltal. Om räntan endast beräknas en gång, fås efter tillägg av räntan ett slutbelopp 
på
Om räntan beräknas flera gånger, beräknas utöver räntan över en viss tidsperiod ränta-på-ränta för nästa tidsperiod. Om den årliga räntesatsen är och räntan beräknas gånger per år, har räntan efter år beräknats 
gånger och det nya slutbeloppet är
Exempel: 
placeras till en årlig räntesats på 
. Hur högt är tillgodohavandet efter 
år, om räntan beräknas tre gånger årligen?
För att beräkna tillgodohavandet efter år vid en trebonadsränta per år har vi följande värden: 
.
Sätt in värdena i formeln:
Efter år ligger tillgodohavandet på 
Kontinuerlig ränta
För att bestämma slutvärdet av en investering efter år med kontinuerlig ränta, det vill säga när räntan inte ska beräknas månadsvis, dagligen eller årligen, utan kontinuerligt, använder vi följande formel:
Exempel: placeras till en årlig räntesats på . Hur högt är tillgodohavandet efter år, om räntan beräknas kontinuerligt?
För att bestämma tillgodohavandet efter år vid kontinuerlig ränta använder vi värdena 
.
Sätt in värdena i formeln:
Efter år ligger tillgodohavandet på 
och är den övre gränsen för möjligt tillgodohavande.
Sammanfatta med AI:
Gillade du den här artikeln? Betysätt den!
Loading...
