Gränsvärden för funktioner, gränsvärden för intervall och gränsvärden i en punkt

Vi betraktar ett godtyckligt värde för . Att bevisa är att ett existerar som uppfyller definitionen av gränsvärdet.

Med

(ännu okänt) måste det vara uppfyllt att:

Genom förenkling får vi:

Försök att få på ena sidan av olikheten för att erhålla ett uttryck för . Genom att multiplicera båda sidor av olikheten med 2 får vi:

För går alltså olikheten upp. Därmed är det begärda beviset fört.

Vad betyder detta egentligen?

Det betyder att för varje värde av som vi betraktar kan vi hitta ett värde som uppfyller definitionen, eftersom vi för detta har ställt upp formeln (i detta fall ).

Om till exempel vore givet, skulle vi få . Därför skulle vara lika med

.

D.v.s. . För varje godtyckligt värde i intervallet skulle det gälla:

T.ex. skulle för vara . Följaktligen:

Likaså skulle för vara . Följaktligen:

Funktionsgrafen i koordinatsystemet

Funktionsgrafen för gränsvärdena

1 Det första sökta gränsvärdet är

När , det vill säga när minskar mot oändligheten, faller även funktionen obegränsat. Följaktligen:

2 Bestäm nu

Vi kan observera att funktionen minskar mot oändligheten när närmar sig från vänster. När närmar sig från höger ökar däremot funktionen mot oändligheten. Därför kan vi dra slutsatsen att inget gränsvärde existerar.

3 Beräkna nu

Här betraktas det vänstersidiga gränsvärdet. Vi kan observera att funktionen minskar mot oändligheten när närmar sig från vänster. Gränsvärdet är alltså:

4 Det fjärde gränsvärdet är

Här betraktas det högersidiga gränsvärdet. Följaktligen:

5 Slutligen, bestäm gränsvärdet

Detta liknar mycket det första exemplet. Man kan observera att ökar mot oändligheten. ökar också mot oändligheten. Följaktligen:

Sök gränsvärdet:

När vi betraktar gränsvärdet mot minus oändligheten får vi en obestämd form:

Eftersom värdet av är obestämt, måste vi omforma funktionen algebraiskt.

Innan vi börjar med den algebraiska omformningen kan vi skriva om gränsvärdet med dess egenskaper:

Gränsvärdet blir alltså:

För att ta bort subtraktionen med oändlighet rationaliserar vi uttrycket (d.v.s. multiplicerar och dividerar med det konjugerade):

När vi tittar på funktionens globala beteende, det vill säga dess beteende mot oändligheten, får vi återigen en obestämd form . För att ta bort denna obestämdhet multiplicerar och dividerar vi med :

Vi har alltså fått det sökta resultatet:

Sök gränsvärdet:

När vi betraktar gränsvärdet mot oändligheten får vi:

För att omvandla det obestämda uttrycket kan vi här skriva om bråken med gemensam nämnare:

Nu har vi det obestämda uttrycket . Vi kan ta bort det genom att multiplicera och dividera med en lämplig term, nämligen monomet av högsta grad i täljaren eller nämnaren, här :

Gränsvärdet är alltså:

När vi betraktar gränsvärdet mot oändligheten får vi:

är ett obestämt uttryck. Vi omformar därför igen genom att multiplicera och dividera med monomet av högsta grad (i täljaren eller nämnaren). I detta fall tar vi — eftersom nämnaren innehåller en tredjegradens rot kan "monomet" ses som ett monom av första graden. Vi får:

När vi tar gränsvärdet mot oändligheten får vi:

När vi betraktar funktionen mot oändligheten får vi:

Eftersom uttrycket är obestämt omformar vi igen genom att multiplicera och dividera med monomet av högsta grad (; observera att potenserna i täljaren delas med 2 eftersom de ligger under ett kvadratrotsuttryck):

När vi tar gränsvärdet mot oändligheten får vi:

Gränsvärdet är alltså 2.

När vi betraktar funktionen mot oändligheten kan vi konstatera att:

Vi måste alltså omforma funktionen för att ta bort det obestämda uttrycket.

Uppgiften kan lösas på två sätt:

1 Genom att jämföra beteendet mot oändligheten:

Först utvecklar vi kvadraten:

I täljaren har vi och i nämnaren som termer med högst grad. Eftersom täljarens grad är högre blir gränsvärdet . När graden i täljaren är högre, och termerna med högst grad har samma tecken, är gränsvärdet alltid .

2 Genom att dividera täljaren och nämnaren med termen av högsta grad:

Normalt är ett obestämt uttryck, men här får vi ett gränsvärde för . Eftersom både täljaren och nämnaren växer positivt med ökande kan vi dra slutsatsen att gränsvärdet är .

När vi betraktar funktionen mot oändligheten får vi:

Nämnarens oändlighet växer dock snabbare, och därför kan vi dra slutsatsen att .

Att bevisa att gränsvärdet är 0 utan att använda L’Hôpitals regel eller regeln för högsta graden är dock mer komplicerat. Vi kan göra på följande sätt:

För att bestämma gränsvärdet måste vi hitta två funktioner och sådana att och

Om vi hittar sådana funktioner kan vi dra slutsatsen att

.

Vi kan observera att för är (för stora värden av ). Dessutom är för . Därför gäller:

för tillräckligt stora . Vi kan alltså välja:

För den andra funktionen noterar vi att är växande, och därför är , vilket ger

och därmed:

Om vi sätter kan vi skriva:

En viktig egenskap hos exponentialfunktionen är:

för alla och . Om vi väljer får vi:

Därmed gäller:

Således får vi:

Vi kan alltså välja:

Eftersom har vi därmed bevisat att:

När vi betraktar funktionen mot oändligheten får vi:

Gränsvärdet måste alltså vara oändligt, eftersom både täljaren och nämnaren är positiva för stora . För att se det tydligare kan vi skriva om uttrycket:

Därmed får vi:

När vi betraktar funktionen mot noll får vi:

Vi får ett obestämt uttryck av formen . I detta fall är inte korrekt, eftersom vi bestämmer ett gränsvärde för och ett positivt eller negativt nära noll. (Vid gränsvärdesbestämning med är detta vanligtvis inget problem).

Därför måste vi beräkna gränsvärdena från respektive sida:

1 Först bestämmer vi vänstersidans gränsvärde:

2 Nu bestämmer vi högersidans gränsvärde:

Vi ser att de två ensidiga gränsvärdena är olika, och därför finns inget gränsvärde för .

När vi betraktar funktionen mot oändligheten får vi:

Därför måste vi omforma uttrycket. Först skriver vi gränsvärdet som en enda bråkform:

Nu delar vi täljaren och nämnaren med koefficienten för högsta graden (dvs. , eftersom den står under en rot):

När vi nu betraktar gränsvärdet mot oändligheten får vi:

När vi betraktar funktionen mot 3 får vi:

Vi får återigen ett obestämt uttryck, så vi måste omforma det först. Eftersom täljaren innehåller ett rotuttryck multiplicerar vi bråket med täljarens konjugat och delar samtidigt med det:

Vi förenklar sedan:

Nu kan vi ta gränsvärdet:

Gränsvärdet är alltså .

När vi betraktar formeln mot får vi:

Vi får ett obestämt uttryck. Därför måste vi omforma uttrycket matematiskt för att få en form som liknar definitionen av . Vi börjar med att lägga till och dra ifrån 2 i exponenten (gränsvärdet betecknas med ):

Vi omformar med potensregler:

Vi ser att den första potensen motsvarar definitionen av för . Gränsvärdet blir därför:

När vi betraktar uttrycket mot får vi:

Därför måste vi omforma uttrycket matematiskt för att få en form liknande definitionen av . Vi börjar med att skriva om uttrycket inom parentesen och betecknar gränsvärdet med :

I exponenten måste vi få formen . Detta gör vi genom:

Vi omformar med potensregler:

Nu kan vi beräkna gränsvärdet, eftersom vi i den yttre parentesen kan identifiera formen som i definitionen av :

Om vi betraktar funktionen mot ser vi omedelbart att:

Vi jämför värdena av oändligheten i de två bråken. Först noterar vi att

,

eftersom täljaren är ett polynom av högre grad (och eftersom huvudkoefficienterna har samma tecken). På samma sätt gäller

,

av samma skäl. Gränsvärdet är alltså:

,

eftersom det sista uttrycket inte är ett obestämt uttryck.

Om vi återigen betraktar funktionen mot får vi:

Men om vi löser gränsvärdena för bråken genom att jämföra graden av oändlighet ser vi att:

,

eftersom täljaren är ett polynom av högre grad (och huvudkoefficienterna har samma tecken). Dessutom är

,

eftersom täljaren är ett polynom av högre grad men huvudkoefficienterna inte har samma tecken. Gränsvärdet är därför:

Om vi betraktar funktionen mot oändligheten får vi:

Vi betraktar gränsvärdena för bråken separat. Täljaren i basen är ett polynom av högre grad. Dessutom har huvudkoefficienterna samma tecken, därför är

,

Polynomen i exponentens täljare och nämnare har samma grad. Gränsvärdet blir alltså kvoten av huvudkoefficienterna:

Gränsvärdet är därför

,

eftersom när .

Detta gränsvärde är praktiskt taget samma som det föregående, förutom ett förändrat tecken:

Vi betraktar gränsvärdena för bråken separat för att bestämma det generella gränsvärdet. Precis som i det föregående exemplet får vi

,

eftersom nämnaren är ett polynom av högre grad. På samma sätt är

,

eftersom täljaren är ett polynom av högre grad och huvudkoefficienterna har olika tecken. Gränsvärdet är alltså

Detta är ett obestämt uttryck. Vi måste därför använda regeln:

och får

Alltså är

Vi får

Anmärkning: det är viktigt att skriva på detta sätt. är nämligen ett obestämt uttryck (det vill säga, vi kan konstruera olika funktioner där detta obestämda uttryck kan ge olika värden).

Om vi betraktar funktionen som i det föregående exemplet mot oändligheten får vi:

Precis som tidigare betraktar vi funktionen mot oändligheten och får:

,

eftersom polynomen i täljaren och nämnaren har samma grad. Gränsvärdet är alltså kvoten av huvudkoefficienterna. På samma sätt är

Det vill säga, gränsvärdet är