Polynomfaktorisering och faktorisering: Uppgifter

1 För att faktorisera , observera att är en gemensam faktor för båda termerna

2 För att hitta roten (=nollstället) måste värdet av väljas så att ekvationen blir noll. För gäller detta i två fall: när och när

Följaktligen är rötterna och

1 För att faktorisera , observera att är en gemensam faktor för båda termerna

2 I detta fall är det enda nollstället, eftersom polynomet inte har några rötter, d.v.s. det finns inget reellt tal för vilket skulle gälla

1 Använd konjugatregeln

2 Rötterna, för vilka varje faktor blir noll, är

och

1 Använd konjugatregeln

2 Använd konjugatregeln igen på den andra faktorn

3 Rötterna, för vilka varje faktor blir noll, är

och

Observera att faktorn inte har någon reell rot

1 Här föreligger ett fullständigt kvadrattrinomium, som också kan skrivas som ett kvadratiskt binom. Ställ följande frågor:

Vilket tal i kvadrat ger ? Och vilket tal i kvadrat ger ?
Kontrollera när den dubbla produkten av lösningarna är lika med

2 Detta gäller för och , d.v.s. faktoriseringen måste se ut som följer

3 Roten, för vilken varje faktor blir noll, är

. Den kallas också dubbelrot

1 Använd i detta fall den allmänna formeln för andragradsekvationer. För detta måste ekvationen sättas lika med noll, det vill säga . Bestäm värdena på (nollställen till ekvationen) med hjälp av den allmänna formeln

Lös ut och du får nollställena

2 I detta fall är faktorerna till ekvationen

.

1 Sätt polynomet lika med noll och genomför ett variabelbyte
Genom att sätta in den nya variabeln får du

2 Lös andragradsekvationen

Du får nollställena

3 Genom variabelbyte får du ; lös ut och du får nollställena

4 I detta fall är faktorerna till ekvationen

.

1 Sätt polynomet lika med noll och genomför ett variabelbyte
Genom att sätta in den nya variabeln får du

2 Lös andragradsekvationen

Du får nollställena

3 Genom variabelbyte får du ; lös ut och du får nollställena

; observera att inte har några lösningar

4 I detta fall är faktorerna till ekvationen

.

1 Hitta divisorerna till konstanttermen. Dessa är .

2 Genom att använda divisionssatsen kan du avgöra för vilka värden divisionen går jämnt ut.

3 Genomför en division enligt Horners schema

Eftersom divisionen går jämnt ut, är ett nollställe och motsvarande polynom är

4 Använd samma tillvägagångssätt på den andra faktorn. Pröva med , eftersom den första faktorn kan vara en dubbelrot.

är alltså inte ett nollställe till den andra faktorn. Pröva med

5 Genomför en division enligt Horners schema

Eftersom divisionen går jämnt ut, är ett nollställe och motsvarande polynom är

6 Bestäm nu den tredje faktorn med hjälp av andragradsekvationen eller på samma sätt som nyss, där nackdelen då är att man bara kan hitta heltalsnollställen.

Nollställena är och motsvarande polynom är

1 Hitta divisorerna till konstanttermen. Dessa är .

2 Genom att använda divisionssatsen kan du avgöra för vilka värden divisionen går jämnt ut.

3 Genomför en division enligt Horners schema

Eftersom divisionen går jämnt ut, är ett nollställe och motsvarande polynom är

4 Använd samma tillvägagångssätt på den andra faktorn. Pröva med , eftersom den första faktorn kan vara en dubbelrot.

5 Genomför en division enligt Horners schema

Eftersom divisionen går jämnt ut, är ett nollställe och motsvarande polynom är

1 Hitta divisorerna till konstanttermen. Dessa är .

2 Genom att använda divisionssatsen kan du avgöra för vilka värden divisionen går jämnt ut.

3 Genomför en division enligt Horners schema

Eftersom divisionen går jämnt ut, är ett nollställe och motsvarande polynom är

4 Bestäm nu den andra faktorn med hjälp av andragradsekvationen eller på samma sätt som nyss, där nackdelen då är att man bara kan hitta heltalsnollställen.

Eftersom diskriminanten är negativ, har polynomet inga reella nollställen. Därför är det enda nollstället och motsvarande polynom är

1 Hitta divisorerna till konstanttermen. Dessa är .

2 Genom att använda divisionssatsen kan du avgöra för vilka värden divisionen går jämnt ut.

3 Genomför en division enligt Horners schema

Eftersom divisionen går jämnt ut, är ett nollställe och motsvarande polynom är

4 Bestäm nu den andra faktorn med hjälp av andragradsekvationen eller på samma sätt som nyss, där nackdelen då är att man bara kan hitta heltalsnollställen.

Nollställena för den andra faktorn är och motsvarande polynom är

1 Hitta divisorerna till konstanttermen. Dessa är .

2 Genom att använda divisionssatsen kan du avgöra för vilka värden divisionen går jämnt ut.

3 Genomför en division enligt Horners schema

Eftersom divisionen går jämnt ut, är ett nollställe och motsvarande polynom är

4 Bestäm nu den andra faktorn med hjälp av andragradsekvationen eller på samma sätt som nyss, där nackdelen då är att man bara kan hitta heltalsnollställen.

Nollställena för den andra faktorn är och motsvarande polynom är

Steg 1: Faktorisera ut den gemensamma faktorn

Steg 2: Skriv kvadratskillnaden som produkt av summa och differens

Steg 1: Faktorisera ut den gemensamma faktorn

Steg 2: Identifiera det perfekta kvadratiska trinom som kan skrivas som kvadraten av ett binom

Steg 1: Faktorisera ut den gemensamma faktorn

Steg 2: Identifiera det perfekta kvadratiska trinom som kan skrivas som kvadraten av ett binom

Steg 3: Skriv den kvadratiska skillnaden som summa gånger differens

Steg 1: Faktorisera ut den gemensamma faktorn

Steg 2: Skriv den kvadratiska skillnaden som summa gånger differens

Faktorisera ut den gemensamma faktorn

Skriv kvadratskillnaden som summa gånger differens

Den andra faktorn är ett irreducibelt polynom eller primtalsfaktor

Den tredje faktorn är en kvadratskillnad som kan skrivas som summa gånger differens

Sätt andragradstrinomet lika med noll och lös ekvationen

Nollställena är och det motsvarande polynomet kan faktoriseras som

I denna uppgift kan man faktorisera ut en gemensam faktor två gånger. Faktorisera ut ur de två första termerna och ur de två sista termerna

Faktorisera sedan ut den gemensamma faktorn

är en kvadratdifferens

Skriv kvadratdifferensen som summa gånger differens

Du får ett perfekt kvadratiskt trinom som också kan skrivas som en kvadrat av ett binom.

Kvadraten av är , kvadraten av är , och det dubbla av gånger är .

Du får ett perfekt kvadratiskt trinom som också kan skrivas som ett binoms kvadrat.

Kvadraten av är , kvadraten av är , och det dubbla av gånger är .

Du får ett perfekt kvadratiskt trinom som också kan skrivas som ett binoms kvadrat.

Kvadraten av är , kvadraten av är , och det dubbla av gånger är .

Du får ett perfekt kvadratiskt trinom som också kan skrivas som ett binoms kvadrat.

Kvadraten av är , kvadraten av är , och det dubbla av gånger är .

Du får ett perfekt kvadratiskt trinom som också kan skrivas som ett binoms kvadrat.

Kvadraten av är , kvadraten av är , och det dubbla av gånger är .

Faktorera ut den gemensamma faktorn

Du får ett ytterligare perfekt kvadratiskt trinom.
Kvadraten av är , kvadraten av är , och det dubbla av gånger är .

Faktorera ut den gemensamma faktorn

Skriv den kvadratiska differensen som en summa gånger en differens

Använd formeln för kubsumma och kubdifferens

Sätt polynomet lika med noll

Lös andragradsekvationen

Nollställena är och motsvarande polynom är

Lös andragradsekvationen

Nollställena är och motsvarande polynom är

Lös andragradsekvationen

Nollställena är och motsvarande polynom är