Blandade övningsuppgifter: Trigonometri

Formeln för att omvandla en vinkel från radianmått till gradmått är följande:

Där är vinkeln i radianer. I grader blir vinklarna alltså:

• Här är .
  Gradmåttet blir då:
  
  För att få vinkeln i grader, minuter och sekunder gör vi följande:
  Multiplicera decimaldelen med 60 för minuter:
  Multiplicera decimaldelen av minuter med 60 för sekunder:
  Därför är vinkeln i grader, minuter och sekunder:
• Vi använder samma formel:
  
• Samma procedur:
  

Formeln för att omvandla grader till radianer är mycket lik den tidigare:

Vinklarna blir:

• Använd formeln: Vinkeln i radianer är alltså .
• Använd formeln: Vinkeln i radianer är alltså .
• Använd formeln: Här kan inget förenklas eftersom 127 är ett primtal. Vinkeln i radianer är alltså .

Vi vet att vinkeln ligger i fjärde kvadranten i koordinatsystemet. För denna kvadrant gäller , men . Därför får vi:

Därmed får vi:

Eftersom vi nu har och , är det enkelt att bestämma de andra trigonometriska funktionerna:

Man kan också rationalisera nämnaren för kotangens och kosekans. Då blir resultaten lika korrekta:

Dessa resultat fås genom att multiplicera de tidigare uttrycken med . På så sätt undviker vi att ha kvadratrötter i nämnaren.

Vinkeln ligger i tredje kvadranten i koordinatsystemet.

Därför vet vi att

och .

Relationen mellan tangens och sekans kan också beräknas med hjälp av Pythagoras sats:

Därmed får vi:

Eftersom , gäller .

Alltså:

Därifrån får vi:

Man kan också skriva om man rationaliserar nämnaren.

Vi vet även att . Därmed får vi:

De övriga två trigonometriska funktionerna kan nu enkelt beräknas:

och

Vinkeln är given i radianer. Dessutom ligger den i första kvadranten i koordinatsystemet, därför gäller och .

Relationen mellan sekans och kan beräknas med Pythagoras sats:

Eftersom , och både och , får vi:

Likaså är:

Då , får vi:

De övriga trigonometriska funktionerna kan nu enkelt bestämmas:

och

Vi antar att sinus och cosinus för de mest kända vinklarna (, etc.) redan är kända:

• För att beräkna sinus använder vi egenskaperna hos förskjutning av sinus- och cosinusfunktionerna.
  Vi kan se att:
  
  På samma sätt:
  
  Slutligen:
  
  
  
• På samma sätt använder vi egenskaperna för förskjutning av sinus- och cosinusfunktioner.
  Vi får:
  
  På samma sätt:
  
  Slutligen:
  

• Först behöver vi hitta en vinkel mellan och som är ekvivalent med . Vi delar 2655 med 360 och tar resten:
  
  Resten är 135, så vi får:
  
  På samma sätt:
  
  Slutligen:
  
  
  
• Här gör vi på samma sätt: vi delar först 840 med 360 och använder resten:
  
  Så är ekvivalent med .
  Därmed:
  
  På samma sätt:
  
  Slutligen:
  

Titta på skissen av triangeln:

Här kan du se de saknade måtten (sidorna , och vinkeln ). Det enklaste är att först beräkna vinkeln , eftersom summan av vinklarna i en triangel alltid är . Därför är

Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi använda trigonometriska funktioner för att bestämma längderna på de övriga sidorna. Vi vet att

Därför är

Eftersom gäller också

På så sätt har vi nu beräknat alla saknade mått.

Titta på skissen av triangeln:

Här kan du se de saknade uppgifterna (sidorna , och vinkeln ). Precis som i det föregående exemplet är det enklast att först beräkna vinkeln vid , eftersom summan av vinklarna i en triangel alltid är . Därför är

Denna gång är hypotenusan inte given, så vi måste använda tangens:

Därför är

Eftersom , gäller även

På så sätt har vi nu beräknat alla saknade mått.

Titta på skissen av triangeln:

Vi söker kateten och vinklarna och . Enligt Pythagoras sats gäller . Därför är

Alltså blir .

Vi kan också beräkna vinkeln :

Därmed är . Eftersom summan av vinklarna i en triangel är , blir

På så sätt har vi beräknat alla saknade mått.

Denna gång är triangeln inte rätvinklig. Se triangeln i skissen:

Vi saknar fortfarande vinklarna , samt sidan . Eftersom triangeln inte är rätvinklig kan vi inte använda Pythagoras sats. Däremot kan vi använda cosinussatsen:

Här har vi alla givna mått:

Därmed är . Med hjälp av sinusatsen kan vi nu beräkna de återstående vinklarna:

Därmed får vi:

Alltså är .

Slutligen:

På så sätt har vi bestämt alla mått för triangeln.

Trädet (sida ) och skuggan (sida ) bildar följande triangel:

Vi ser att sidan inte behöver beräknas. Vi söker vinkeln , vars tangens ges av:

Med hjälp av arctangens får vi:

Vi har nu hittat den efterfrågade vinkeln.

Mellan byn och drönaren bildas följande triangel:

Vi betecknar den okända sträckan med . Höjden där drönaren flyger betecknas med . Lutningsvinkeln motsvarar vinkeln .

Tangens för kan beräknas som:

Därmed får vi:

Drönaren måste alltså flyga cirka 3763,70 meter (eller 3,764 km) för att hamna precis över byn.

Titta på skissen:

Vi kan se att en rätvinklig triangel bildas med punkterna , där är mittpunkten på cirkelbågen.

Radien är hypotenusan i triangeln. Längden på är hälften av kordlängden, alltså:

Vinkeln är hälften av cirkelbågen, alltså . Vi vet att:

Eftersom är hypotenusan får vi:

Radien mäter alltså cirka 21,44 meter.

Detta problem kan lösas på flera sätt. Vi kan använda Herons formel för triangelns area eller försöka bestämma höjden. Titta först på skissen av triangeln:

Där är , och .

Om vi ritar höjden vinkelrätt mot bildas en rätvinklig triangel där är kateten och är hypotenusan. Sinus för vinkeln är då:

Därmed får vi:

Triangelns area blir alltså:

Titta på skissen till uppgiften:

Denna uppgift kan lösas på flera sätt. Ett sätt är att först beräkna sträckan i triangeln ; därefter använder vi sträckan för att bestämma höjden.

För att beräkna triangeln vet vi att vinkeln i triangeln är:

Därefter kan vi använda sinuslagen. Först behöver vi vinkeln :

Med sinuslagen får vi:

Där:

Därmed är:

Nu kan vi beräkna höjden. Vi ser att triangeln är rätvinklig. Därmed gäller:

Alltså:

Trädet är alltså cirka 8,66 meter högt.

Titta på åttonhörningen i skissen:

Mellan punkterna bildas en rätvinklig triangel, där punkten är mittpunkten för varje sida av åttonhörningen. Titta på den rätvinkliga triangeln i detalj:

Vi vet att vinkeln . Vinkeln i den rätvinkliga triangeln är alltså . Dessutom är sidan .

De två återstående sidorna är lika med radierna för den inskrivna respektive omskrivna cirkeln. För sidan gäller:

Vi får:

Radien för den inskrivna cirkeln är alltså cirka 14,49 meter.

Sidan uppfyller:

Alltså är . Radien för den omskrivna cirkeln är alltså cirka 15,68 meter.

Titta på triangeln i skissen:

För att beräkna sidan kan cosinussatsen användas:

Fortsätt med beräkningen och vi får:

Alltså är avståndet mellan städerna cirka 9,81 km.

Linan på draken (sida ) och drakens höjd över marken (sida ) bildar en rätvinklig triangel:

Sinus för vinkeln kan skrivas som:

Lös för :

Alltså är drakens höjd över marken cirka 33,55 meter.

Byggnaden (sida ) och skuggan (sida ) bildar följande rätvinkliga triangel:

Tangens för vinkeln kan skrivas som:

Lös för :

Alltså är byggnadens höjd 100 meter.

• Skriv först och med hjälp av definitionen i sinus och cosinus:
  
  Sätt samman bråken med gemensam nämnare:
  
  Eftersom får vi:
  
  Detta är definitionerna av och .
  Alltså:
• 
  Börja med högra sidan:
  
  Faktorisera :
  Enligt Pythagoras gäller , därför får vi:
  
  Uppgiften är därmed bevisad.
• 
  Börja med högra sidan och faktorisera :
  Eftersom får vi:
  
  Alltså är uppgiften bevisad.

• Det enklaste är att börja på vänstra sidan och skriva om i termer av sinus och cosinus:
  
  Här tar ut varandra.
  Uppgiften är alltså bevisad i ett steg.
• 
  Börja återigen på vänstra sidan och skriv om i termer av sinus och cosinus:
  
  Sätt bråken på gemensam nämnare och summera:
  
  Eftersom är uppgiften bevisad.