Räkning med rötter: Uppgifter

Beräkna värdena av följande potenser:

Lösningar:

En potens med ett bråk som exponent är lika med en rot, vars rotexponent är nämnaren i bråket och exponenten för radikanden är täljaren .

För att lösa den första uppgiften faktoriserar vi först , utför de nödvändiga stegen för radikanden och extraherar faktorerna.

1

2

3

I detta fall omvandlar vi exponenten, som är ett exakt decimaltal, till ett bråk

4

Exponenten, som är ett periodiskt decimaltal, omvandlas till ett bråk

När exponenten är ett bråk kan vi lösa

Delvis rotdragning:

Lösningar:

1

Exponenten för talet två är mindre än rotexponenten , därför stannar det kvar under roten.

Exponenten för talet är lika med rotexponenten , därför stannar talet inte kvar under roten.

Exponenten för talet är större än rotexponenten , därför delas denna exponent med rotexponenten. Kvoten som vi får blir exponenten för faktorn utanför radikanden, och resten är exponenten för faktorn innanför radikanden.

2

Exponenterna är större än rotexponenten, så dessa exponenter delas med rotexponenten.

Var och en av de erhållna kvoterna är exponenten för motsvarande faktor utanför radikanden, och var och en av de erhållna resterna är exponenten för motsvarande faktor innanför radikanden.

Vi tittar på faktorerna:

Lösningar:

1

Innan vi börjar med lösningen bör vi påminna oss om några egenskaper hos rötter. Vi vet att roten som tillämpas på en produkt är produkten av rötterna

och att rotexponenten för roten, när den omvandlas till exponentiell form, delas med potensen av basen

Vi tillämpar alltså dessa två lagar när vi vill förenkla uttryck där rötter förekommer:

Så kommer vi till resultatet

Detta tillämpar vi nu på vårt problem:

Vi sätter in våra tal och får

2

Vi tillämpar vår formel; rotexponenten är här

Vi utför de nödvändiga räknestegen

Wurzeln gleichnamig machen:

Lösungen:

Wir ermitteln das kleinste gemeinsame Vielfache der Wurzelexponenten, das somit auch der gesuchte Wurzelexponent ist:

Wir dividieren den gemeinsamen Wurzelexponenten durch jeden der Wurzelexponenten. Die Ergebnisse multiplizieren wir mit den entsprechenenden Exponenten

Wir führen die nötigen Rechenschritte durch

Utför följande beräkningar:

Lösningar:

1 

Eftersom rötterna är lika får vi addera och subtrahera koefficienterna för rötterna:

2 

Vi slår samman koefficienterna för rötterna:

3

Vi faktoriserar radikanderna, extraherar faktorerna från rötterna (om möjligt) och multiplicerar dem med koefficienten för motsvarande rot

4

Vi extraherar faktorerna från rötterna och multiplicerar dem med koefficienten för motsvarande rot

Vi förenklar rötterna. För den första roten dividerar vi rotexponenten och exponenten för radikanden med , för den andra med och för den tredje med

Vi slår samman koefficienterna för rötterna

Beräkna:

Lösningar:

Eftersom rötterna inte är lika måste vi följa två steg: Vi faktoriserar rötterna, extraherar faktorer (om möjligt) och multiplicerar dem med koefficienten för motsvarande rot

Vi slår samman koefficienterna för rötterna

1

2

3

4

Addera enligt följande:

Lösningar:

1

Vi rationaliserar den andra termen genom att multiplicera och dividera med kvadratroten ur

Vi bryter ut den gemensamma faktorn för roten ur och slår samman

2

Vi faktoriserar rötterna

För de första två termerna extraherar vi faktorer, för den tredje förenklar vi roten genom att dividera rotexponenten och exponenten för radikanden med , och för den sista termen rationaliserar vi genom att multiplicera och dividera med kvadratroten ur .

Eftersom alla rötter är lika kan vi slå samman koefficienterna

Multiplicera enligt följande:

Lösningar:

1

Eftersom rötterna har samma rotexponent multiplicerar vi radikanderna och faktoriserar dem för att extrahera faktorerna från roten.

2

Vi faktoriserar

Vi reducerar till en gemensam rotexponent, därför måste vi beräkna den minsta gemensamma multipeln av rotexponenterna, som sedan blir den gemensamma rotexponenten.

Vi dividerar den gemensamma rotexponenten latex[/latex] med var och en av rotexponenterna . Det respektive resultatet multiplicerar vi med motsvarande exponenter .

Vi bildar produkten av potenser med samma bas i radikanden och extraherar faktorer från radikanden.

3

Vi beräknar den minsta gemensamma multipeln av rotexponenterna.

Vi beräknar:

Dividera enligt följande:

Lösningar:

1

Eftersom rötterna har samma rotexponent dividerar vi radikanderna och förenklar roten genom att dividera rotexponenten och exponenten för roten med

2

Först reducerar vi till en gemensam rotexponent. Vi måste alltså beräkna den minsta gemensamma multipeln av rotexponenterna, som sedan blir den gemensamma rotexponenten.

.

med var och en av rotexponenterna och multiplicerar det respektive resultatet med motsvarande exponenter .

Vi faktoriserar så att vi kan utföra divisionen av potenser med samma bas och dividerar:

3

Vi går tillväga på samma sätt som i föregående exempel

Vi förenklar roten genom att dividera rotexponenten och exponenten för roten med och extraherar slutligen faktorerna

Beräkna:

Först beräknar vi den minsta gemensamma multipeln av rotexponenterna, som sedan blir vår gemensamma rotexponent

Vi dividerar den gemensamma rotexponenten latex[/latex] med var och en av rotexponenterna och det respektive resultatet multiplicerar vi med motsvarande exponenter

Vi löser upp parenteserna, förenklar bråket och multiplicerar i täljaren potenserna med samma bas

Vi förenklar roten genom att dividera rotexponenten och exponenten för radikanden med

Slutligen extraherar vi faktorerna

Beräkna:

Lösningar:

Först konstaterar vi att .

Vi för rötterna i täljare och nämnare till en gemensam rotexponent.

Vi kvadrerar nämnaren och dividerar potenser med samma bas.

Vi tar nämnaren upphöjt till 3 och utför divisionen av potenser med samma bas.

Utför följande räkneoperationer med potenser:

Lösningar:

1

Vi kvadrerar roten, faktoriserar och kvadrerar den. Till sist extraherar vi faktorerna

2

Vi tar radikanderna upphöjt till 4, faktoriserar radikanderna och extraherar talet ur roten

För rötterna utför vi räkneoperationerna med potenser och bestämmer en gemensam rotexponent så att vi kan utföra divisionen

Wir vereinfachen die Wurzel, indem wir den Wurzelexponenten und die Exponenten des Radikanden durch dividieren, und dividieren Potenzen mit dem gleichen Exponenten

Beräkna enligt följande:

Lösningar:

1

En differens i kvadrat är lika med kvadraten av första termen, minus två gånger första termen gånger andra termen, plus andra termen i kvadrat

2

3

En summa gånger differens är lika med differensen av termerna i kvadrat

4

Beräkna:

Lösningar:

1

Vi multiplicerar bråken. I nämnaren har vi en summa gånger en differens, vilket är lika med differensen av termerna i kvadrat

2

Differensen av termerna i kvadrat i nämnaren bildas som summa gånger differens och bråket förenklas

Beräkna:

Lösningar:

1

Vi multiplicerar rotexponenterna

2

Vi tar den första med in i kvadratroten. Därför måste vi ta den upphöjt till 3 och multiplicera potenserna med samma bas. Vi fortsätter med detta tillvägagångssätt tills alla värden står under roten och vi kan multiplicera . Slutligen återstår .

3

Vi för under kvadratroten genom att kvadrera. Vi multiplicerar potenserna med samma bas.

Vi multiplicerar rotexponenterna och förenklar genom att dividera rotexponenten och exponenten för radikanden med 3.

Rationalisera följande rötter:

Lösningar:

1

Vi multiplicerar täljare och nämnare med roten ur , beräknar och förenklar bråket.

2

Radikanden skriver vi som en potens: .

Nu måste vi multiplicera täljare och nämnare med den 5:e roten ur .

Vi multiplicerar rötterna i nämnaren, extraherar faktorer och förenklar bråket.

3

Vi multiplicerar täljare och nämnare med det omvända av nämnaren, löser upp parenteserna i täljaren och adderar med differensen i nämnaren, så att vi får en differens av termerna i kvadrat.

I nämnaren extraherar vi radikanderna och dividerar med , det vill säga vi ändrar tecknet på täljaren.

4

Vi multiplicerar och dividerar bråket med det omvända av nämnaren.

Vi beräknar resultatet av summa gånger differens i nämnaren och får en differens av termerna i kvadrat:

5

Vi multiplicerar täljare och nämnare med det omvända av nämnaren, löser upp parentesen i täljaren och räknar summa gånger differens. Så får vi en differens av termerna i kvadrat.

I täljaren faktoriserar vi och extraherar faktorerna. Därefter utför vi de nödvändiga räknestegen i nämnaren.

Rationalisera:

Lösningar:

1

Vi multiplicerar täljare och nämnare med roten ur och utför de nödvändiga räknestegen
 

2

Här måste vi vara uppmärksamma på att vi måste bilda produkten för att kunna lösa upp roten ur

Vi går tillväga enligt följande:

med andra ord, eftersom vi redan har i nämnaren, behöver vi bara multiplicera med för att bli av med roten.

För att inte förändra det numeriska värdet av uttrycket multiplicerar vi både täljare och nämnare med . Vi får:

3

Vi multiplicerar och dividerar bråket med det omvända av nämnaren

I täljaren löser vi upp parentesen och i nämnaren räknar vi summa gånger differens, så att vi får en differens.

Vi utför de nödvändiga räknestegen och förenklar bråket genom att bryta ut

4

Vi multiplicerar och dividerar bråket med det omvända av nämnaren

Vi löser upp parentesen i täljaren. I nämnaren räknar vi summa gånger differens och får därför en differens

5

Vi multiplicerar och dividerar bråket med det omvända av nämnaren

Vi skriver täljaren som en potens

I täljaren har vi en differens i kvadrat, vilket är lika med första termen i kvadrat minus det dubbla av första termen gånger andra termen, plus andra termen i kvadrat. I nämnaren har vi en summa gånger en differens, vilket är lika med differensen av termerna i kvadrat

Vi utför de nödvändiga räknestegen och förenklar