Matematik består i att bevisa något uppenbart med komplexa medel.
Georges Polyà
För att prestera högt på nationella prov i matematik behöver man ha en förståelse för faktorisering.
För de som inte gillar matte kan faktorisering och dess regler vara svåra att komma ihåg. Men efter att du har läst denna artikel kommer det att kännas lättare.
Det kan dock vara en bra idé att gå igenom matematikens grunder lite snabbt innan du tar dig an denna artikel.
Introduktion: vad är faktorisering?
Faktorisering är en process där man transformerar mer än en eller två faktorer för i vilket uttryck blir enklare att förstå. Med denna typ av huvudräkning grupperas de gemensamma nämnare ihop för att sedan adderas ihop med de övriga.
En korrekt faktorisering avslöjar ofta egenskaper som inte är uppenbara i det ursprungliga uttrycket, såsom nollställen till funktioner eller gemensamma nämnare.
Om du känner att du behöver repetera hur gemensamma nämnare fungerar kan vår artikel om vad en median är vara till hjälp.
Faktorisering används för att förenkla uttrycket så att beräkningarna blir lättare att utföra. Vid huvudräkning är det till exempel vanligt att man faktoriserar genom att gruppera liknande termer: först identifierar hjärnan de gemensamma faktorerna och sedan summerar den två termer av samma typ.
Låt oss ta ett exempel på en enkel operation som 200 x 25 + 425 x 25. För att hitta resultatet förenklar vi de bokstavliga beräkningarna på följande sätt:
- 200 x 25 + 425 x 25,
- = 25 x (200+425),
- = 25 x 625,
- = 15 625.
25 är alltså den gemensamma faktorn eller nämnaren för dessa multiplikationer. Nu återstår bara att addera de två andra termerna och tillämpa en gemensam faktor, här 25, för att lösa ekvationen Låt oss återigen anta att vi vill beräkna arean av ytan mellan två cirklar, den ena med radien 25 cm och den andra med radien 15 cm.
För att lyckas med dessa algebraiska beräkningar söker vi skillnaden mellan areorna av dessa två cirklar: A = (π x R²) - (π x R²) = (π x 25²) - (π x 15²). (π x 25²) - (π x 15²) innebär att vi först beräknar kvadraten på var och en av de två produkterna, sedan multiplicerar dem med ett värde som är nära π (3,14) och slutligen subtraherar de två areorna. Det blir: A = π x (25² - 15²). Tack vare de märkliga identiteterna vet vi att skillnaden mellan två kvadrater har följande form:
- a² - b² = (a - b) (a + b),
- A = π (25 - 15) x (25 + 15),
- = π x 10 x 40,
- = π x 400, eller 400 π.
Om π antar ett värde nära 3,14, är arean mellan de två cirklarna i exemplet 400 π, eller cirka 1 256 cm². Dessutom används faktorisering av algebraiska uttryck till faktorer ofta för att lösa ekvationer av första graden.
Algebra faktorisering av uttryck som produkten av faktorer är väldigt användbart för dessa typer av formler. En annan matematisk teori som är av nytta för dina studier är intervaller inom matematiken.
Hur faktoriserar man ett bokstavligt uttryck?
För att lösa ekvationer behöver du först veta vilka faktorisering regler som gäller.
För att kunna faktorisera ett uttryck till ett produkt av faktorer måste man först se om man kan isolera en gemensam faktor. Vi letar till exempel efter den gemensamma termen som gör det möjligt att multiplicera den första termen med det andra uttrycket: 4x+20 är till exempel lika med 2 x (2x + 10). Att faktorisera innebär alltså att man måste ha öga för att upptäcka gemensamma produkter och dela upp uttrycket. För att faktorisera används två metoder:
- Distributiviteten
- En märkvärdig identitet.
Om vi vill veta resultatet av ekvationen f(x) = 0 i matematik, vet vi att ett produkt är noll om och endast om en av dess faktorer är noll. Om f(x) = 0 kan skrivas i formen y(x) x (g(x) = 0, räcker det att hitta ett villkor för att y(x) = 0 eller för att g(x) = 0. Här är ett annat exempel. Tänk dig att du i ett slutprov måste lösa följande algebraiska ekvation: 4x² = 64.
Det är inte lätt att lösa ekvationen ovan. I bästa fall kan man ersätta varje x med 1, 2, sedan med x=3, x=n tills man hittar värdet på x för 4x² = 64. Men om vi omformulerar ekvationen så att den har ett gemensamt produkt, blir den mycket lättare att lösa. 4x²=64 är lika med 4x² - 64 = 0. Här är den algebraiska uttrycket f(x) 4x² - 64. Om f(x) är lika med 0, är subtraktionen av 4x² - 64 noll. Vi märker att f(x) har en märkbar skillnad: en subtraktion mellan två kvadrater. Därför kan vi faktorisera med (2x - 8) (2x + 8) = 0. För att likheten ska vara sann räcker det då att 2x - 8 = 0 eller 2x + 8 = 0. Men 2x - 8 = 0 har lösningen 8/2, det vill säga 4, och 2x + 8 har lösningen -4. Ekvationen 4x² = 64 har alltså två lösningar: [-4; 4].
Observera: var försiktig när du löser andragradsekvationer eller förstegradsekvationer, enligt teckenregeln. Efter förenkling blir en positiv term negativ och omvänt när den flyttas till andra sidan likhetstecknet. Var också noga med att sätta parenteser när du skriver polynom. Om du tar bort parenteserna upphör operationsprioriteringen att gälla.
Slutligen måste du alltid kontrollera dina resultat för att se om det matematiska resonemanget har lett dig fel. Det kan vara irriterande att förlora poäng på matematikdelen på nationella provet på grund av ett teckenfel. Om vi till exempel finner att x = 2 för 2x + 4 = 0
Ta hjälp av en privatlärare för mattehjälp online för att göra det enklare!
Faktorisering av flera gemensamma faktorer
När den gemensamma nämnaren består av en enda term är operationen relativt enkel i matematik. Om du har svårt att förstå dig på gemensamma nämnare kan det vara en bra idé att läsa på om vad en kvot är.
Men vad händer när den gemensamma faktorn består av två termer? Här är en liten övning i faktorisering: Hitta den gemensamma faktorn och faktorera sedan följande uttryck: (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3). Uttrycket får formen (ax + ...) + (ax + ...).
Här är den gemensamma faktorn (x + 3), med två termer. För att faktorisera utvecklar och förenklar vi uttrycket på samma sätt som för en enda term (2x + 4 = x(x+2)), men vi måste sätta in hakparenteser mellan parenteserna för att isolera termerna utan att göra fel.
Här är resultatet:
Här är den gemensamma nämnaren (x+3). Vi använder distributivitetsregeln och är noga med teckenreglerna;
- A = (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3),
- A = (x + 3) [(2x – 1) – (4x – 5)],
- A = (x + 3) (2x – 1 – 4x + 5),
- A = (x + 3) (– 2x + 4).
För att A ska vara lika med 0, (x+3)=0 eller (-2x + 4)=0
De två lösningarna är därmed x=-3 och x=2
Känns det knepigt? Kanske mattehjälp är det du behöver för att komma loss och hitta studietekniker som funkar för dig.
Faktorisera med kvadreringsregler
Faktorisering med hjälp av märkliga identiteter används när man inte kan hitta några gemensamma faktorer i det bokstavliga uttrycket. Kvadreringsreglerna används för matematisk utveckling av numeriska uttryck. Men de används också omvänt för att faktorisera. Man kan dock inte alltid hitta en gemensam delare. Det är här som kvadreringsreglerna kommer in i bilden. Det finns tre som man måste lära sig utantill:
- (a+b)² = a² + 2ab + b²,
- (a-b)² = a² - 2ab + b²,
- (a+b) (a-b) = a² - b².
Kvadreringsreglerna är mycket användbara för att lösa andragradsekvationer och är ett centralt tema i läroplanen för matematik från och med högstadiet (årskurs 8 och 9).
Den första identiteten innebär att kvadraten på summan av två termer är lika med kvadraten på den första plus dubbla produkten av den första och den andra plus kvadraten på den andra.
Den andra anger att kvadraten på en differens mellan två termer är lika med kvadraten på den första minus dubbla produkten av den första och den andra plus kvadraten på den andra. Och slutligen innebär den sista att produkten av summan av två termer och deras differens är lika med kvadraten på den första minus kvadraten på den andra.
Vilket till exempel kan se ut så här:
Faktorisera a² + 6a + 9.
Svar: a² + 6a + 9 = a² + 2a x 3 + 3², a² + 6a + 9 = (a+3)²
Faktorisera x² - 81.
Om vi letar efter värdet för där kvadraten är lika med 81; x=9.
Genom att att använda sig av den tredje regeln för faktorisering ser vi att x² - 81 = (x + 9) (x - 9).
Tack vara faktorisering är de möjligt att lösa denna ekvation i kvadrat och med heltal eller bråkdelar.
Matematiklektion: faktorisera en andragradspolynom
Om ett polynom är av grad 2, benämner vi det som ett andragradspolynom. När vi har en ekvation där den ena sidan består av ett andragradspolynom och den andra sidan är noll, definierar vi detta som en andragradsekvation. Man brukar lära sig hur man faktoriserar andragradsekvationer under gymnasiet och förväntas kunna detta på nationella provet.
Att faktorisera andragradsekvationer innebär att man skriver om funktionen i standardformen vilket innebär att den består av a, b och c. Där a≠0 och Δ representerar diskriminanten av polynomekvationen ax2+bx+c.
Om x1 och x2 är rötterna av en polynomen ax² + bx + c så kan den faktoriseras som (x-x0)² = a(x-x0)(x-x0), alltså är x0 dubbelrot.
Från detta vet vi att:
- Om ∆ = 0, ax² + bx + c har en dubbel real rot x(0)= - (b/2a) och ax² + bx + c = a (x - x0)² och för allt det reala utifrån ekvationen, ax2 + bx + c = a (x - x0)².
- Om ∆ < 0, så kan polynomen ax² + bx + c inte faktoriseras i ℝ.
- Om ∆ > 0, ax² + bx + c har två distinkta rötter, (x1) = (-b - √∆)/2a och (x2) = (-b + √∆)/2a och för allt realt av x, ax² + bx + c = a (x-x1) (x-x2).
- Om c=0, den faktoriserade formen av uttrycket ax² + bx + c blir x (ax + b).
För fortsatta studier inom matematik kan faktorisering med miniräknare vara en värdefull färdighet att behärska. Att kunna använda miniräknarens faktoriseringsegenskaper kan underlätta och påskynda din lösning av matematiska problem. Det är viktigt att vara försiktig med parenteser och ha god förståelse för deras inverkan vid faktorisering. Om du är mer konstnärligt lagd kan vår artikel om vad tesselering är vara till intresse.
Ta hjälp av privatlärare för att komma vidare
Om du kämpar med matematik och känner dig vilsen, kan en privatlärare från Superprof vara till stor hjälp. På plattformen finns specialiserade matematiklärare tillgängliga för elever på alla skolnivåer. Du kan välja den undervisningsmetod som passar dig bäst.
Personlig undervisning ansikte mot ansikte är den vanligaste metoden, där läraren fokuserar på en elev åt gången. Genom att anpassa lektionen efter elevens behov och ge individuell uppmärksamhet kan läraren säkerställa att varje minut utnyttjas maximalt. Denna anpassade undervisning kan vara dyrare på grund av lärarens investerade tid i planering och eventuell resa till elevens hem.
Förutom personlig undervisning erbjuder Superprof även andra undervisningsalternativ, såsom grupplektioner och online-undervisning. Grupplektioner kan vara fördelaktiga om du vill lära dig tillsammans med andra och dela kunskap och erfarenheter. Online-undervisning ger dig flexibilitet att lära dig var som helst och när som helst, vilket kan vara särskilt praktiskt om du har en hektisk tidtabell.
Innan du börjar leta efter en lärare är det alltid en bra idé att klargöra dina krav och förväntningar. På Superprofs webbplats kan du läsa om lärarnas erfarenhet, se recensioner från andra elever och jämföra pris per timme. Det kan vara klokt att begränsa din sökning till lärare som uppfyller dina specifika krav.
Kom ihåg att träning och övning är viktiga för att bli bättre på faktorisering. Utöver att arbeta med en lärare kan du använda digitala verktyg. Det finns appar och webbsidor som hjälper dig att öva och förbättra dina färdigheter. Genom regelbunden träning kan du förbättra din förmåga att identifiera mönster och faktorisera uttryck effektivt.
För att ytterligare förbättra dina färdigheter kan du också överväga att delta i matematiktävlingar och lösa utmanande problem. Dessa aktiviteter kan utmana dig att tillämpa dina faktoriseringstekniker på olika typer av problem och hjälpa dig att utveckla din kreativa problemlösningsförmåga.
lärare i matematik på Superprof.se
Sist men inte minst, glöm inte att ha tålamod och ge dig själv tid att lära och växa. Faktorisering är en färdighet som kan ta tid att lära sig. Var inte rädd för att göra misstag. Be om hjälp när du behöver det. Med rätt inställning och engagemang kan du bli en skicklig faktoriserare och ta dig an matematiska utmaningar med självförtroende och framgång.
Sammanfattningsvis är faktorisering med miniräknare en värdefull färdighet inom matematik. Genom att lära dig denna teknik kan du få hjälp av en privatlärare. Det finns också andra sätt att lära sig. Detta kan förbättra dina matematikkunskaper. Du kan bli mer självsäker när du löser problem. Lär dig att vara tålmodig. Ge dig själv tid att växa. Snart kommer du att bemästra faktorisering. Då kan du utmana dig själv med svårare matematiska problem.
Hitta din privatlärare för mattehjälp här!
Tycker du om artikeln? Visa det gärna!
Loading...
