Allt som finns är matematik. - Max Tegmark
I skolmatematiken så lär man sig om intervaller samt hur man räknar ut medelvärdet och medianen. Medianen är en viktig indikator när man analyserar sannolikheter inom geometri och statistik.
Många elever tycker att matematik är ett komplicerat och svårhanterligt ämne. Privat stödundervisning är en av de bästa hjälpmedlen för att underlätta lärandet. I denna artikel kommer vi titta närmare på hur man hittar medianen, men innan du börjar läsa kan det vara bra att fräscha upp minnet om matematikens grunder.
Vässa pennorna så kör vi!
Vad är median för något?
Median är värdet som separerar en serie av värden i lika delar. Median används ofta i statistik och är ett av de mer användbara sätten att illustrera genomsnitt.
Med andra ord så är median det centrala värdet i en statistisk serie, för att få detta värde rangordnar man data i storleksordning. Utifrån rangordningen hittar du medianen som är talet i mitten av serien.
Som exempel kan vi titta på en grupp simmare.
Vi säger att det totalt finns nio simmare som simmar två längder av en pool och får sina tider mätt i sekunder:
30.6, 29.1, 32.9, 35.1, 30.0, 36.4, 31.7, 35.5, 33.9.
I storleksordning från lägst till högst ställs talen upp så här: 29.1, 30.0, 30.6, 31.7, 32.9, 33.9, 35.1, 35.5, 36.4.
Medianvärdet är i detta fall 32.9.
Med denna information kan man dela simmarna i två grupper på vardera sida av mittenvärdet 32.9.
Men vad händer om en till simmare går med i gruppen?
Denna simmare har tränat avsevärt mycket längre och simmar därför snabbare än de andra med en tid på 28.7 sekunder. Som konsekvens av detta har vi nu en ny "mitten" mellan värdena 31.7 och 32.9.
För att beräkna en median med ett jämnt antal värden, så beräknar man medelvärdet av de två värdena bredvid medianen. I exemplet med tio simmare hittar vi medianen så här: (31.7+32.9)/2 = 32.3
Slutsats:
- Om antalet värden i serien är udda, så ligger medianen i mitten av alla värden i rangordning.
- Om antalet värden i serien är jämnt, så beräknar man medelvärdet av de två värdena bredvid median.
Hitta medianvärde med diskreta variabler
Inom statistik definieras variabler som diskreta när deras realvärde kan beräknas. Som exempel kan vi titta på en klass provresultat. Lär dig mer om variabler med vår artikel om faktorisering.
I detta fall var maxpoängen 20 och eleverna fick: 5, 12, 11, 10, 6, 17, 11, 12, 10, 13, 9, 11, 12, 8, 7, 10, 11, 10, 12, 11, 9, 10, 8, 11.
Rangordna värdena i en tabell:
För att hitta median, rangordnar vi poängresultaten i stigande ordning i en rad och mängden elever som fick respektive poäng i den andra raden.
- Rad 1: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17.
- Rad 2: 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 4, 1, 1.
- Ta varje värde av rad 2 och addera detta till dess anknytande värde i rad 1. 1, 2, 3, 5, 7, 12, 18, 22, 23, 24.
5 studenter fick 10 poäng, en elev fick 17 poäng, 4 studenter fick 12 poäng, etc.
Genom att addera ihop föregående värden får du vad som kallas för den kumulativa frekvensen.
Detta är användbart för att analysera specifika typer av data.
Exempelvis så fick 12 studenter mindre än 10 poäng och därmed mindre än 50% rätt.
I vissa fall kan man använda den kumulativa frekvensen för att beräkna resultat som en procent, vilket är praktiskt när man hanterar stora mängder data som exempelvis globala studier för större befolkningar.
Ett exempel på detta är medianlön. Den svenska medianlönen är 33,200kr vilket innebär att hälften av den svenska befolkningen har en månadslön lägre än 33,200kr.
Vill du lära dig mer? Här kan du hitta matematik hjälp online.
Generell lösning för median
Som konstaterat är medianen i en udda datasamling mittenvärdet vilket kan hittas genom en manuell rangering. Men vi kan också få fram medianen med en generell matematisk regel: (N+1)/2
I vårt exempelfall, har vi 24 värden.
Som konstaterat är medianen talet i mitten eller genomsnittet emellan de två mittenvärdena: N/2 och N+1/2.
Vilket i vårt exempelfall är emellan det 12:e och 13:e värdet: 10.5.
Beräkna medianvärde i kontinuerliga variabler
Hitta din privatlärare matematik Stockholm här!
Kontinuerliga variabler är datavärden som kan mätas till en oändlig nivå av precision.
Om vi tar temperaturer som exempel så kan en kontinuerlig variabel visas så här: 30°C och 31°C kan vara 30.1°C, 30.5°C, 30.99999°C eller 30.00001°C, etc.
För att räkna ut medianen av en kontinuerlig variabel så gör du först en kumulativ frekvenskurva för att etablera medianen och kvartiler.
Som exempel tittar vi på hur många som tjänar emellan 5000kr och 21,000kr i månaden.
Föreställ dig följande dataserie:
- 4o personer tjänar emellan 5000kr och 8000kr i månaden .
- 31 personer tjänar emellan 8000kr och 1100kr i månaden.
- 25 personer tjänar emellan 11,000kr och 12,000kr i månaden.
- 52 personer tjänar emellan 12,000kr och 15,000kr i månaden.
- 37 personer tjänar emellan 15,000kr och 18,000kr i månaden.
- 18 personer tjänar emellan 18,000kr och 20,000kr i månaden.
- 27 personer tjänar emellan 20,000kr och 21,000kr i månaden.
N är med dessa värden lika med 230. Vi kan sätta den kumulativa frekvensen emot värdena. För att illustrera situationen grafiskt, sätt den kumulativa frekvensen på y-axeln och de övre värdena av intervallerna på x-axeln.
I detta fall så kan du avläsa datan utan en matematisk formel. Rita bara en linje utåt från y-axelns halvpunkt (antingen 115 eller 50% om du valt att omvandla till procent).
Kvartilerna kan hittas vid 25% och 75% eller 57.6 och 172.5 respektivt till procentsatserna. I vår serie är 25% lika med 9700kr och 75% lika med 17,000kr.
Från våra beräkningar kan vi dra slutsatserna att 25% av det testade urvalet tjänar emellan 17,000kr och 21,000kr i månaden.
Beräkna medianvärde geometriskt
I geometri används median ofta, särskilt när man studerar trianglar. Geometri kan ses som en konstform vilket du kan läsa mer om i vår artikel om tesselering.
Vissa studenter kan ha det svårt att förstå konceptet med triangelns median.
För en triangel är median linjen som möter ett av triangelns hörn till mittpunkten på motsvarande sida. I en triangel vars hörn betecknas ABC där medianen utgår ifrån hörn A, så ritas medianens linje från hörn A tills den skär linjen mellan hörn B och C.
Linjen från hörn A kommer skära i mitten av B och C och vardera sida av skärningspunkten kommer vara lika i längd. Om man gör samma linjer men med startpunkt i hörn B och C får man lika par av trianglar.
Apollonios sats förklarar att summan av kvadraterna på två av sidorna i en triangel är lika med dubbla summan av kvadraten på halva den tredje sidan och kvadraten på medianen till denna sida.
De sex trianglar du får genom att ta median av en triangel är kongruenta triangelpar. Punkten där de korsar är triangelns tyngdpunkt.
Median kan appliceras även om triangeln är likbent. En likbent triangel har två medianer med samma längd.
I en rät vinkel kan median användas för att hitta mitten av hypotenusan. Om längden av medianen är är hälften av längden på följande sida så är det en rät triangel.
Blanda inte ihop medelvärde med median
Gör inte misstaget att förvirra medelvärde med median. Båda kan användas för att beräkna dataserier, men medelvärde påverkas mer av extrema värden. Medelvärde beräknas genom att addera ihop alla värden i en serie för att sedan dividera den med antalet värden i serien.
Med median så kommer de höga och låga talen ha en mindre påverkan på dess värde. På grund av detta är median mer relevant för statistikanalyser. Om man tar inkomststatistik som exempel så riskerar medelvärde att mörklägga data från de med högst och lägst inkomst. Ett mindre antal miljonärer och miljardärer kan lätt skapa missvisande utfall, därför används median ofta för att illustrera medelinkomster. Med median kan man också dela upp data i kvartiler vilket förtydligar uppvisningen av datan. Att förstå sig på kvoter kan också göra det lättare att förstå sig på median.
Om du vill lära dig mer om matematik, kontakta någon av de begåvade och erfarna lärarna på Superprofs hemsida. Där hittar du lärare som är specialiserade inom matematik för hela din skolgång, ända från lågstadiet till universitetsnivå. Det finns många sätt att ta hjälp av en lärare, så anpassa efter det sätt som passar dig bäst efter hur du föredrar att studera och efter din budget.
Öga-mot-öga undervisning är det vanligaste sättet att få hjälp. De innebär oftast att en lärare hjälper en elev i dennes hem. Eftersom att det bara är en elev som undervisas kan läraren tillbringa all sin tid för just den eleven. Denna typ av undervisning tenderar att kosta mer då det är mer tids- och resurskrävande för läraren.
Genomgångar över internet kan också ske öga-mot-öga med en elev då läraren sparar tid då den inte behöver resa till elevens hem. Hjälp över internet kanske inte är lika användbart för praktiska ämnen men för mer akademisk undervisning som matematik är distansundervisning ett utmärkt alternativ.
Gruppgenomgångar är ett passande alternativ för de med en mer restriktiv budget. Med fler deltagande elever så har läraren möjlighet att ta mindre i betalt per elev. Denna typ av undervisning kommer inte vara lika anpassad för dig men det är ett bra alternativ för den som vill spara pengar och gärna lär sig med andra.
Det är alltid värt att pröva något en gång, speciellt när många lärare erbjuder den första timmen av undervisning helt gratis. Du har därmed gott med tid att hitta den lärare och typ av undervisning som är perfekt för just dig.
En bra start är att sätta upp dina krav innan du börjar leta efter lärare. På Superprofs hemsida kan du se över lärarnas kreditiv, vad andra elever tycker om dem och hur mycket läraren tar i betalt. Innan du börjar leta kan det vara smart att du begränsar ditt letande efter lärare som passar in på dina specifika preferenser.
Hitta din matte hjälp här!
Tycker du om artikeln? Visa det gärna!
Loading...
