Att studera en funktion innebär att man studerar dess förändringar och gränser, hittar extremer och asymptoter (om det finns några), och till sist graferar ekvationen.

Den här typen av matematikproblem kan appliceras på polynominala, exponentiella, logaritmiska och trigonometriska ekvationer.

Med tanke på alla olika förmågor som du tränar genom att lösa liknande matematiska problem, är det inte så konstigt att sådana frågor nästan alltid förekommer på matematiktentor.

Därför har du en stor fördel om du hanterar den här typen av matematiska förmågor, och de hjälper dig dessutom när du ska ta dig an andra områden inom matematiken.

Är det här är något som du känner att du behöver träna lite extra på? Oroa dig inte! Det finns nämligen många sätt att förbättra dina kunskaper i matematik.

Om du behöver hjälp med matematiken så kan du alltid fråga din lärare eller dina klasskompisar om de kan ge dig några användbara tips och metoder, eller varför inte hitta en privatlärare i matematik som kan hjälpa dig att träna på precis det du behöver?

Men låt oss gå igenom den här matematiska uppgiften tillsammans innan du börjar leta efter en privatlärare i matematik!

Innan vi går in på funktioner och derivata så ska vi ta en snabb titt på hur man räknar ut en faktoriserad ekvation och ekvationer med bråkdelar. Du kan också läsa mer på Superprofs blogg om hur man löser ekvationer.

Genom att repetera grunderna kommer du snabbt att förbättra dina kunskaper i matematik. Källa: Crissy Jarvis (Unsplash)
Jonathan
Jonathan
rare
240 kr/h
Första kursen gratis!
Sofia
Sofia
rare
175 kr/h
Första kursen gratis!
Peter
Peter
rare
450 kr/h
Första kursen gratis!
Philip
Philip
rare
300 kr/h
Första kursen gratis!
Keiti
Keiti
rare
300 kr/h
Första kursen gratis!
Liam
Liam
rare
5.00 5.00 (1) 200 kr/h
Första kursen gratis!
Sonja
Sonja
rare
250 kr/h
Första kursen gratis!
Laura
Laura
rare
200 kr/h
Första kursen gratis!
Jonny
Jonny
rare
5.00 5.00 (2) 290 kr/h
Första kursen gratis!
Mathilda
Mathilda
rare
200 kr/h
Första kursen gratis!
Valerie
Valerie
rare
5.00 5.00 (4) 200 kr/h
Första kursen gratis!
Vivis
Vivis
rare
150 kr/h
Första kursen gratis!
Ahmad
Ahmad
rare
200 kr/h
Första kursen gratis!
Keiti
Keiti
rare
300 kr/h
Första kursen gratis!
Ximena
Ximena
rare
250 kr/h
Första kursen gratis!
Amanda
Amanda
rare
5.00 5.00 (3) 250 kr/h
Första kursen gratis!
Eugen
Eugen
rare
5.00 5.00 (2) 450 kr/h
Första kursen gratis!

Faktoriserade Ekvationer

En faktoriserad ekvation är en form av polynomekvation och ser i princip ut så här:

(ax + b)(cx + d) = 0

'x' är alltid den okända variabeln medan a, b, c och d är värden som anges i problemet. Du kanske känner igen det här påståendet:

Produkten av faktorer är 0 om, och endast om, minst en av faktorerna är 0.

Här är ett exempel på en faktoriserad ekvation, med dess lösning:

(3x + 4)(2x - 5) = 0

De två faktorerna motsvarar de två uttrycken inom parenteserna. För att vara på det klara med terminologin, så är alltså x-koefficienterna i det här exemplet 3 och 2.

För att lösa ekvationen måste vi ta med båda parenteserna i beräkningen, och vi gör det genom att ta en parentes i taget, från vänster till höger. Såhär:

3x + 4 = 0

3x = -4

x = -4/3

Och sedan den andra parentesen:

2x - 5 = 0

2x = 5

x = 5/2

Eftersom vi har två faktorer så innebär det att vi har två lösningar för 'x'. Och vi har precis hittat båda: x = 4/3 eller 5/2.

Ekvationer med Bråkdelar

Du kan också stöta på en ekvation som ser ut exempelvis så här:

f(x) / g(x) = 0

För att lösa en sån här typ av ekvation måste du göra följande:

  • Uteslut förbjudna värden, det vill säga värden som tar ut nämnaren
  • Förenkla ekvationen så att alla värden befinner sig över samma nämnare
  • Sätt allt på ena sidan av likhetstecknet så att den andra sidan blir = 0
  • Lös ekvationen
  • Kontrollera dina värden så att de inte är förbjudna värden.

Här kommer ett exempel på hur du kan lösa den här typen av ekvationer med bråkdelar. Vi kommer att använda en teknik som kallas kryssprodukt, för att bli av med alla bråkdelar. Vi har följande ekvation:

x/x + 1 = x - 1/x + 2

Nu ska vi börja med att ta bort alla bråkdelar, och det gör vi genom att multiplicera båda sidorna med (x + 1).

x (x + 1) / x + 1 = x - 1 (x + 1) / x + 2

Nu kan vi ta bort de värden som tar ut varandra:

x = x - 1 (x + 1) / x + 2

Nu ser det redan bättre ut! Vi har ett 'x' kvar på ena sidan och endast ett bråk kvar på den andra. Låt oss ta bort även det med samma metod:

x (x + 2) = (x - 1)(x + 1)(x + 2) / x + 2

Och genom att ta bort bråket på högra sidan har vi kvar följande ekvation som är mycket mer lättöverskådlig.

x (x + 2) = (x - 1)(x + 1)

Nu ska vi göra vår ekvation = 0 genom att utveckla parenteserna, dvs multiplicera värdet inom varje parentes med värdet precis utanför:

På den vänstra sidan får vi då:

x^2 + 2x

På den högra sidan är det lite krångligare eftersom vi måste multiplicera den ena parentesen med den andra parentesen. Det ger oss:

x^2 + x - x - 1

Då har vi alltså följande ekvation:

x^2 + 2x = x^2 + x - x - 1

Nu måste vi samla alla x-koefficienter på den vänstra sidan och sedan förenkla ekvationen genom att göra samma beräkningar på båda sidor om likhetstecknet, vilket slutligen ger oss:

2x = -1

-1 är inte ett förbjudet värde, så vår lösning på ekvationen är alltså x = -1/2. 

Ta ett steg i taget så kommer du så småningom fram till en lösning! Källa: Olav Ahrens Rötne (Unsplash)

Differentiera en funktion

Efter en snabbrepetition i hur man räknar ut faktoriserade ekvationer och ekvationer med bråkdelar så ska vi nu ta oss till en lite mer avancerad nivå och titta på hur man kan gå tillväga för att differentiera en funktion.

Som exempel kan vi ta följande ekvation:

f (x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 6

Funktionen f (x) är en polynomfunktion som består av 3 termer. Här kommer en snabbkurs i differentiering:

d/dx (a^n) = na^(n-1)

Och så här ser vår ekvation ut när den är differentierad:

f '(x) = 3x^2 + 6x - 9

Faktorisera en derivata

Syftet med det här steget är att göra vår derivata så enkelt som möjligt. Det är inte alltid möjligt att faktorisera, men glöm inte att faktorisera där du kan eftersom det underlättar enormt för dig under kommande steg.

Om du tittar på derivatan ovan så kan du se att varje term har en faktor på 3 inom det. Med det i åtanke så ska vi förenkla uttrycket:

f ' (x) = 3(x^2 + 2x - 3)

Om du tittar på vad som finns inom parentesen på höger sida så kanske du känner igen formen av en kvadratisk ekvation!

Här är ett praktiskt knep: Byt ut dina värden på den kvadratiska ekvationen till dess diskriminant. Om värdet du får fram då är större än 0 betyder det att ekvationen har två distinkta lösningar. Om det istället är lika med 0 så betyder det att det finns 1 lösning:

b^2 - 4ac ≡ 2^2 - 4(1 x -3) ≡ 4 + 12 ≡ 16

Som du kan se finns det i det här fallet två lösningar, eftersom 16 är större än 0. Testa gärna vilka 2 siffror du behöver lägga in i (x+a)(x-b) för att generera ekvationen ovan. Observera att det trestrukna likhetstecknet betyder att likheten gäller vilket 'x' man än stoppar in i ekvationen.

Annars har vi svaret här för att göra det lite enklare:

f ' (x) = 3(x + 3)(x - 1)

Så lösningen på vår faktorisering var alltså (x+3)(x-1), och 3:an på utsidan kommer ifrån att vi faktoriserade ut den tidigare.

Att Studera Grafer och Derivata

Genom att analysera själva ekvationen kan du räkna ut några egenskaper hos grafen innan du ritar den.

En av våra parenteser är (x + 3). Därmed vet vi att om y = 0 så kommer vår graf att korsa x-axeln vid -3. Om x är större än -3 så är y-skärningen negativ. Om x är mindre än -3 så är y-skärningen positiv.

Omvänt är den andra uppsättningen parenteser (x - 1) och det motsatta gäller: Om x är större än 1 är y-skärningen positiv, och om x är mindre än 1 är y-skärningen negativ.

Det finns ett teorem som säger följande:

En lokal minimi- eller maximipunkt finns för en funktion där derivaten av den funktionen är lika med 0.

Med det i åtanke, låt oss återgå till vår ursprungliga ekvation.

Vi har alltså kommit fram till att vår derivata är lika med 0 vid x = -3 och x = 1. För att hitta den punkt där en maximipunkt eller minimipunkt finns på vår ekvation så måste vi överföra dessa värden på originalfunktionen för att hitta deras motsvarande y-koordinater.

Det ger oss (-3, 33) och (1, 1).

Så nu är bara frågan vilken som är maximipunkten och vilken som är minimipunkten. Ett sätt att ta reda på det är att helt enkelt rita upp diagrammet, vilket kommer att ge dig svaret. Ett annat sätt är att titta på själva koordinaterna: 33 är helt klart större än -3, så det skulle då alltså vara maximipunkten.

Matematiken kan kännas förvirrande till en början men du kommer att hitta rätt så småningom! Källa: Annie Spratt (Unsplash)

Att Rita en Graf

Nu har vi alltså använt derivata för att räkna ut maximi- och minimipunkterna på vår funktion!

Det sista steget är att rita upp grafen. För att göra det behöver du först markera maximi- och minimipunkterna på grafen. Vi vet att grafen måste passera genom båda dessa punkter, däremot vet vi fortfarande inte säkert vilken form grafen kommer att ha.

Du kanske redan känner till den generella formen på en trinomial ekvation, men för att vara på säkra sidan kan det vara bra att rita ut några fler punkter omkring dina maximi- och minimipunkter, som du sedan enkelt kan länka samman.

Vi kan exempelvis välja följande värden:

  • x -> f(x)
  • -5 -> 1
  • -2 -> 28
  • -1 -> 17
  • 0 -> 6
  • 5 -> 161

När vi placerat ut dessa punkter kan vi till sist rita ut själva grafen!

Sammanfattning

Det här var en grundläggande matematisk guide till hur du kan använda funktioner för att rita ut grafer.

Det finns såklart en mängd olika varianter och fallgropar som inte tagits upp här, men de är heller inte alltför vanliga på tentor. Det skulle exempelvis kunna vara en funktionen med en bruten exponent.

Oroa dig inte om du kände att du inte kunde följa med i den här genomgången. Du kan komma långt med matematiken utan att ha koll på precis alla olika typer av ekvationer.

Men om du känner att du skulle vilja lära dig mer om den här typen av matematiska problem, eller andra delar inom matematiken, så kan en privatlärare i matematik vara till stor hjälp.

På Superprof finns många olika matematiklärare som erbjuder privatlektioner och som kan ge dig anpassad undervisning utifrån dina behov.

Många lärare på Superprof erbjuder dessutom första lektionen gratis. På så sätt kan du ha en prova-på-lektion med din lärare för att se om det passar dig!

Behöver du en lärare i ?

Gillar du artikeln?

0.00/5, 0 votes
Loading...

Emma

Emma är språklärare, älskar att resa och är för tillfället bosatt i Paris.